Réponse à Remarques sur les quadratrices en mécanique hyperbolique algébrique, par Vincent Franck,
une critique de mon article Piste trigonométrique de la quadratrice horizontale croissante.
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Après une analyse très serrée du schéma de mon article, où il conclut qu'il est mathématiquement inconsistant, Vincent Franck demande
- D'où vient le problème?
Essentiellement une méprise, une interprétation erronée, au sujet du rang et des angles, je pense.
une critique de mon article Piste trigonométrique de la quadratrice horizontale croissante.
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Après une analyse très serrée du schéma de mon article, où il conclut qu'il est mathématiquement inconsistant, Vincent Franck demande
- D'où vient le problème?
Essentiellement une méprise, une interprétation erronée, au sujet du rang et des angles, je pense.
1) Le rang
Dans le rang rt, r ne se sépare pas de t, l'angle de s (son sinus). Ce n'est pas une multiplication. C'est un mot composé, qui signifie un rang de V½, la tangente de a, qui laisse invariant l'angle central, t. Il multiplie en même temps le sinus de g, V½*s, de sorte que (V½*s) / V½ = s, d'où l'invariance de t, composé des 2 guides centraux en cause, en tant que sinus.
Dans le rang rt, r ne se sépare pas de t, l'angle de s (son sinus). Ce n'est pas une multiplication. C'est un mot composé, qui signifie un rang de V½, la tangente de a, qui laisse invariant l'angle central, t. Il multiplie en même temps le sinus de g, V½*s, de sorte que (V½*s) / V½ = s, d'où l'invariance de t, composé des 2 guides centraux en cause, en tant que sinus.
Au carré, rt s'écrit r²t, d'où votre méprise, bien compréhensible.
Il y a 2 autres types de rang, ra, qui laisse invariant l'asymptote, a (l'angle a est dit asymptote), et rg, qui, lui, laisse invariant l'angle g, avec d'autres lettres en plus pour différents détails techniques, quand il y a lieu.
Les rangs font varier les systèmes. Ils multiplient les guides centraux, qui ainsi augmentent ou diminuent, toujours par rapport à 1. Comme leur rapport définit le guide principal du tribiné, celui-ci ne change pas, il demeure invariant. Par défaut, c'est l'asymptote, a, mais t, l'angle central principal, lorsqu'il y a permutation des variables, comme c'est le cas ici.
Dans une page de diagramme des systèmes, il y en a trois principaux, correspondant chacun au type de rang qui les fait varier. Ils se disséminent entre eux: quand l'un a un rang, il apparaît dans les 2 autres systèmes, dans une position différente. Un seul système peut donc avoir les trois rangs dans son algèbre. Il peut donc prendre différentes formes, dans les limites de son identité, ainsi que se transformer tout autant en système cartésien.
C'est justement le cas de mon schéma de la quadratrice, ici, qui comprend un système cartésien, en s et I½, de pair avec celui par défaut, l'euclidien, en s et V½, parce que des rangs l'ont transformé ainsi, et qu'il peut donc se composer avec.
Les rangs font varier les systèmes. Ils multiplient les guides centraux, qui ainsi augmentent ou diminuent, toujours par rapport à 1. Comme leur rapport définit le guide principal du tribiné, celui-ci ne change pas, il demeure invariant. Par défaut, c'est l'asymptote, a, mais t, l'angle central principal, lorsqu'il y a permutation des variables, comme c'est le cas ici.
Dans une page de diagramme des systèmes, il y en a trois principaux, correspondant chacun au type de rang qui les fait varier. Ils se disséminent entre eux: quand l'un a un rang, il apparaît dans les 2 autres systèmes, dans une position différente. Un seul système peut donc avoir les trois rangs dans son algèbre. Il peut donc prendre différentes formes, dans les limites de son identité, ainsi que se transformer tout autant en système cartésien.
C'est justement le cas de mon schéma de la quadratrice, ici, qui comprend un système cartésien, en s et I½, de pair avec celui par défaut, l'euclidien, en s et V½, parce que des rangs l'ont transformé ainsi, et qu'il peut donc se composer avec.
2) Les angles
Mes angles sont en fractions, l = 1/4 = 90°, par exemple. Un Tour = 1, l'unité des angles fractions. Il n'y a cependant pas de problème à utiliser les radians, comme toute autre autre mesure, comme les degrés, tant qu'on revient aux angles fractions pour les valeurs réelles: l'angle a est une fraction, pas un radian, algébriquement parlant.
Mes angles sont en fractions, l = 1/4 = 90°, par exemple. Un Tour = 1, l'unité des angles fractions. Il n'y a cependant pas de problème à utiliser les radians, comme toute autre autre mesure, comme les degrés, tant qu'on revient aux angles fractions pour les valeurs réelles: l'angle a est une fraction, pas un radian, algébriquement parlant.
Dans mon schéma, j'ai utilisé des angles simples, comme 30°, avec l'algèbre de l'angle double relatif, une caractéristique spécifique à la quadratrice, pour la construction, où tout est bien proportionnel. Je ne l'ai pas mentionné parce que l'important est l'algèbre des courbes, où le lecteur peut donner les valeurs qu'il veut, s'il désire l'expérimenter.
En autant qu'il comprend, évidemment, mais comme je n'ai pas publié tellement de théorie jusqu'ici, bien peu peuvent le faire, je pense, et votre critique est un exemple d'une telle difficulté d'interprétation.
Les systèmes, par exemple, dits euclidiens et cartésiens, auxquels on donne justement des rangs, se trouvent dans le diagramme combinatoire de tous les systèmes. Et puis il y a des tableaux de rotation, comment ça tourne dans l'ensemble, et des tableaux spécifiques, à chaque système en particulier. Il y aussi, surtout, le diagramme de composition des trigonométries des deux angles, t et a, des variables, à la base, pour bien exprimer ce dont on parle, sans se mêler. Et plein d'autres diagrammes et tableaux complémentaires. C'est très vaste. C'est pourquoi ce n'est pas si simple, en plus d'avoir développé ma propre algèbre, nomenclature, car celles classiques ne convenaient pas tellement. C'est un autre monde.
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Les systèmes, par exemple, dits euclidiens et cartésiens, auxquels on donne justement des rangs, se trouvent dans le diagramme combinatoire de tous les systèmes. Et puis il y a des tableaux de rotation, comment ça tourne dans l'ensemble, et des tableaux spécifiques, à chaque système en particulier. Il y aussi, surtout, le diagramme de composition des trigonométries des deux angles, t et a, des variables, à la base, pour bien exprimer ce dont on parle, sans se mêler. Et plein d'autres diagrammes et tableaux complémentaires. C'est très vaste. C'est pourquoi ce n'est pas si simple, en plus d'avoir développé ma propre algèbre, nomenclature, car celles classiques ne convenaient pas tellement. C'est un autre monde.
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Ma géométrie se conçoit en systèmes, en algèbre strictement réelle. Il n'y pas de coordonnées négatives. Tout est positif. La rotation se fait en continuités trigonométriques: un sinus devient une sécante au 2e quadrant, puis une cotangente au 3e. Du côté hyperbolique, c'est tangente, cosécante et cosinus, dans l'ordre, u 1er au 3e quadrant aussi. Tout se tient. C'est différent de ce qui est enseigné, c'est pourquoi ça peut être déroutant à première vue, évidemment.
Ce n'est pas x et y pour un point. C'est l'ensemble de 6 triangles qui forment un système, 2 angles centraux, 2 combinés (qui tracent les courbes) et 2 tribinés (où se trouve l'asymptote - l'angle a). Et chaque système peut se connecter avec des milliers d'autres, par un ou des points de connexion en commun.
C'est très compliqué, et c'est dans ce contexte que j'avais situé la quadratrice aux confins de 3 systèmes. Celà m'a permis d'évoluer vers une meilleure compréhension du véritable système auquel elle appartient. Et là, son algèbre sera bien moins compliquée, et plus compréhensible, j'espère.
C'est la véritable géométrie des systèmes. Il n'y a pas de formule unique, isolée, tout est lié aux systèmes auxquels elle appartient. Le plus simple, d'abord, quand on peut le trouver. Telle courbe appartient à tel système, mais elle peut apparaître dans des milliers d'autres. L'important est de trouver l'original, pour voir le chemin vers les autres (pas toujours évident).
Et ce n'est pas basé sur le calcul différentiel, comme la géométrie supérieure classique l'est. Ce sont les points de rencontre entre les courbes qui sont importants, et les dérivées peuvent n'être que des cas particuliers, pas essentiels comme tel. Donc, les calculs à l'infini ne font pas partie de ma géométrie, mais son équivalent en algèbre exacte existe, que l'on voit dans l'évolution des triangles, où un moment peut paraître illogique à cause, justement, d'un tel point de rencontre à l'infini. Mais il ne s'agit pas d'un calcul, seulement un moment, algébrique, disons. Donc, l'infini, ou la limite, existe tout autant dans ma géométrie, mais c'est une algèbre exacte, pas un calcul comme tel, mais que l'on peut toujours faire si on veut un nombre précis, quand c'est important, par exemple.
Même remarque pour le discriminant, que l'auteur utilise à propos dans sa démonstration, qui met e doigt sur des valeurs réelles que j'avais bel et bien utilisé dans les paramètres du moment du schéma de la quadratrice. Comme la dérivée, le discriminant du calcul matriciel est utilisé couramment en géométrie courante. Dans ma géométrie, comme la dérivée, c'est aussi un moment dans l'évolution des systèmes, une étape de la variable mobile exprimée en celle de l'immobile. Les deux solutions, positive et négative, de l'approche classique, se reflète aussi dans ma géométrie, par un repassage au même point de rencontre après un tourniquet. Algébriquement, ce ne sont donc pas des valeurs identiques, au choix, mais différentes, parce que l'une ayant évoluée par rapport à l'autre. Mais la formule, elle, est symétrique, ce qui fait effectivement penser aux deux solutions, positive et négative, de la géométrie classique, utilisée à tout vent, comme la dérivée, par ailleurs.
Les points de rencontre, dans l'évolution des systèmes, sont des étapes de progression, qui peuvent se transformer en fonctions, dans un autre système, comme quand on rajoute un rang. Ils sont multiples, et quand on pense que la dérivée et le discriminant n'en sont que des cas particuliers, il n'y a qu'un pas à voir que la géométrie courante est bien limitée que de n'utiliser que ces paramètres de construction et d'analyse. Et ce n'est pas l'utilisation des nombres négatifs et imaginaires qui va compenser pour ce manque. Sans ces artifices, strictement positive, la mécanique hyperbolique algébrique englobe toutes ces formules de calcul différentiel et matriciel dans un tout bien plus vaste encore, qui comprend toutes les entités possibles.
Même remarque pour le discriminant, que l'auteur utilise à propos dans sa démonstration, qui met e doigt sur des valeurs réelles que j'avais bel et bien utilisé dans les paramètres du moment du schéma de la quadratrice. Comme la dérivée, le discriminant du calcul matriciel est utilisé couramment en géométrie courante. Dans ma géométrie, comme la dérivée, c'est aussi un moment dans l'évolution des systèmes, une étape de la variable mobile exprimée en celle de l'immobile. Les deux solutions, positive et négative, de l'approche classique, se reflète aussi dans ma géométrie, par un repassage au même point de rencontre après un tourniquet. Algébriquement, ce ne sont donc pas des valeurs identiques, au choix, mais différentes, parce que l'une ayant évoluée par rapport à l'autre. Mais la formule, elle, est symétrique, ce qui fait effectivement penser aux deux solutions, positive et négative, de la géométrie classique, utilisée à tout vent, comme la dérivée, par ailleurs.
Les points de rencontre, dans l'évolution des systèmes, sont des étapes de progression, qui peuvent se transformer en fonctions, dans un autre système, comme quand on rajoute un rang. Ils sont multiples, et quand on pense que la dérivée et le discriminant n'en sont que des cas particuliers, il n'y a qu'un pas à voir que la géométrie courante est bien limitée que de n'utiliser que ces paramètres de construction et d'analyse. Et ce n'est pas l'utilisation des nombres négatifs et imaginaires qui va compenser pour ce manque. Sans ces artifices, strictement positive, la mécanique hyperbolique algébrique englobe toutes ces formules de calcul différentiel et matriciel dans un tout bien plus vaste encore, qui comprend toutes les entités possibles.
Donc, c'est différent d'une géométrie de travail, pour laquelle on étudie et obtient un diplôme, comme pour l'ingénierie, le dessin industriel, etc.. Il faut prendre le temps de l'apprendre à côté, par soi-même, avec les quelques indications que je peux donner publiquement, et faire des liens avec ce que l'on sait déjà. Il y a de l'espace. Toutes les théories existantes peuvent y être intégrées. Toutes les connexions sont là pour ça.
C'est la géométrie des savants, ceux qui découvrent des formules. Il n'y a aucun cours sur la manière dont ils font. On ne voit que le résultat, quand ils publient, et leur reproduction dans la documentation scientifique. Avec leur multiplication, on voit que ces formules s'entrecoupent, se ressemblent sur certains points, utilisent les mêmes variables, seulement composées différemment. Certains liens entre elles sont découverts, mais d'autres demeurent isolées, mystérieuses, comme si un chaînon manquant devait exister quelque part pour les relier.
C'est la géométrie des savants, ceux qui découvrent des formules. Il n'y a aucun cours sur la manière dont ils font. On ne voit que le résultat, quand ils publient, et leur reproduction dans la documentation scientifique. Avec leur multiplication, on voit que ces formules s'entrecoupent, se ressemblent sur certains points, utilisent les mêmes variables, seulement composées différemment. Certains liens entre elles sont découverts, mais d'autres demeurent isolées, mystérieuses, comme si un chaînon manquant devait exister quelque part pour les relier.
En fait, ils utilisent des systèmes, et leurs relations entre eux, et c'est justement ce qu'est la mécanique hyperbolique algébrique. C'est la géométrie des systèmes, pourrait-on dire, avec laquelle n'importe quelle formule savante connue peut être étudiée et analysée scientifiquement, améliorée ou simplifiée au besoin, et en trouver d'autres apparentées ou complètement nouvelles.
Elle a ses règles, ses lois de composition interne, une algèbre propre, que j'essaie d'expliquer un peu dans l'analyse publique des courbes que je fais, comme ici la quadratrice, mon principal modèle d'étude, en attendant une couverture théorique plus poussée.
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J'espère que cette mise au point sera utile pour d'autres aussi qui auraient le même genre de difficulté de compréhension de l'algèbre de la mécanique hyperbolique algébrique. Tout n'est pas nécessairement bon dans ce que j'écris pour expliquer, mais c'est le mieux que je sais dans le moment, au sommet, à la pointe, de ma propre théorisation, mais qui évolue constamment, et peut changer à mesure de nouvelles découvertes, ou techniques mieux adaptées.
Le principal est d'y donner du soi, quand l'idée principale est comprise, pour ceux que ça intéresse.
Merci à Vincent Franck pour son aimable et admirable contribution.
Merci à Vincent Franck pour son aimable et admirable contribution.
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