vendredi 6 avril 2018

Piste trigonométrique de la quadratrice horizontale croissante

Les approches classiques de la quadratrice étant goniométriques, la quadrature du cercle et la trisection de l'angle, il aurait été chimérique, Don Quichotte, de me baser là-dessus pour en faire l'analyse. C'est pourquoi j'avais d'abord misé sur une piste mixte, trigonométrique en même temps, car les deux se conjuguent.

À quelle trigonométrie correspond la quadratrice? C'était d'abord la question que je devais répondre. Comme ça ressemblait beaucoup à celle de l'angle double, j'ai travaillé beaucoup là-dessus, pour finalement la relier avec le rapport de l'angle avec son complémentaire, ce qui correspond, ou est équivalent, à une tangente au carré. De là, par leur rectification, chacun multiplié par 2PI, j'ai vu que ça correspondait à une structure justement trigonométrico-goniométrique. La tangente au carré en cause était donc bien celle de l'angle double.

De là, le sinus de l'angle double étant 2 fois le sinus cosinus, j'ai étudié les surfaces trigonométriques, pour voir si leur algèbre pouvait correspondre à celle de la quadratrice, quelque part. J'y suis arrivé d'une certaine façon, mais pas à ma satisfaction, car c'était assez compliqué, et j'en ai déduit que c'était probablement là une analyse plus poussée d'une géométrie d'abord simple.

Mais la relation connue avec l'angle double était suffisante pour pouvoir en faire une analyse strictement trigonométrique, maintenant. Le rang d'un système, i.e. tous ses triangles multipliés par la même fonction, me rebutait beaucoup, et j'ai plutôt essayé de voir si ça ne s'appliquerait pas, par hasard, seulement au triangle de la quadratrice.

Effectivement, j'ai trouvé de quoi il s'agissait: c'était le permuté de l'apposé qui ne faisait que l'homothétie de l'asymptote. Dans ma géométrie, a, l'asymptote, est l'autre angle qui la compose, avec t, l'angle propre de la trigonométrie classique. Celle de a est faite en lettres majuscules, sous radical, comme V½ pour la tangente, par exemple, qui est le radical de l'ordre de mon sinus, le plus utilisé avec lui.

En sinus, je fais une mécanique circulaire avec g, l'angle central secondaire. L'apposé, lui, est une mécanique hyperbolique à partir de la tangente de t, lu sur les deux coordonnées, sin sur l'une, et cos sur l'autre, plutôt que sur une seule. Le sinus de g, V½ s, lui, demeure le même, mais il se rapporte maintenant au cos t plutôt qu'à 1, ce en tangente comme t lui-même. Ce n'est donc plus g comme tel, mais hc1/V, l'hyperbolique du circulaire contre-combiné, qui devient l'angle central secondaire de t en apposé.

L'ordre, V, lui, demeure le même, et son radical se lit toujours sur une seule coordonnée, car il ne se rapporte toujours qu'à 1. Donc, si je permute l'angle central avec l'a, ce qui est dit permuté, V½ va avoir besoin d'une béquille pour être de même niveau que V½ s, qui est sur le cosinus, sur l'autre coordonnée. Cette béquille est donc le cos lui-même, et multiplie, par le fait mème, tous les autres côtés de l'a, désormais angle central à son tour. Ce qui est l'homothétie, le triangle de l'a est réduit par un rang plus petit que 1, cos.

Je devrais écrire le cos, (1-s²)½, mais on comprend bien de quoi il s'agit quand même, quand s est le guide circulaire. C'est plus court, et plus pratique.

Ainsi, l'asymptote pourrait donc être un permuté d'apposé. Je ne vois pas d'autre possibilité en mécanique de base, les autres cas de béquille étant en algèbre plus compliquée, comme dans un système avec rang - qui n'est pas homothétique. Un rang système ne multiplie que 2 guides ou 2 variables à la fois, sans multiplier les triangles auxquels ils appartiennent, c'est dans ce sens que je dis qu'il n'est pas homothétique. Par contre, le rang homothétique, lui, je l'appelle rang de portée, car il fait agrandir le ou les triangles en cause sur la portée, comme sur une une portée musicale: changement proportionnel de ligne et de colonne.

Donc, c'est pour montrer que le permuté d'apposé est le cas le plus simple à quoi peut correspondre la quadratrice, qui a besoin d'une béquille.

L'ÉTAPE ET LE SYSTÈME ASYMPTOTIQUE DÉDUIT

De là, connaissant donc le système auquel il appartient, l'aspect goniométrique n'avait plus d'importance, il pouvait être mis de côté. L'analyse pouvait être strictement trigonométrique, maintenant.

J'ai d'abord essayé le rang système, où les 2 guides centraux sont multipliés par la même fonction. Ça fonctionne, mais l'algèbre en cause doit se subdiviser pour y comprendre quelque chose. J'ai compris alors qu'une étape devait être considérée.

Dans la rotation d'un système, il y a une variable qui tourne pendant que l'autre est fixe. Quand un événement se passe, comme quand 2 angles se rencontrent, on peut calculer l'étape où ça s'est produit par l'équation de la variable mobile en variable fixe. Ce qui est comme une fonction, mais comme ce n'est qu'une étape en cours de chemin, la variable mobile peut continuer son chemin jusqu'à une autre. C'est comme l'analyse classique, mais c'est pour expliquer un peu les termes que j'emploie, qui peuvent être différents.

J'ai constaté que r fois s, le rang par le sin, était une étape, car il s'agit d'une fonction sur ce sinus. Quand cette fonction est égale au sin, le rang égal donc 1, et différemment lorsqu'il n'y pas égalité. J'avais donc bien là affaire avec une étape, mais que je devais encore subdiviser, car elle comprend aussi le nouveau sinus de port - qu'on va appeler néo-port pour ne pas se mêler avec celui d'origine.

Le port est l'angle auquel se rapportent les combinés. C'est g(1+V), le g à l'ordre supérieur d'une unité, mais c'est plus simple de le surnommer port, et son triangle portail, par extension, les combinés y étant attachés, comme dans un vrai havre, par analogie.

Ce sur quoi est le sin du néo-port pour constituer l'étape, c'est (1+V)½, le radical de l'ordre du port. En mettant donc les guides centraux du circulaire à un rang, dont se déduisent par la suite l'apposé et le permuté propres, on crée, en fait, un nouveau système composé strictement de l'algèbre de ce rang, visible dès qu'il n'égale plus 1, i.e. quand la variable mobile continue son chemin, ou qu'on permute les rôles mobile et fixe des variables, ce qui est dit revers-mécanique, et que ce soit l'autre qui le fasse.

On a donc 2 systèmes, celui de l'étape en cause s'étant rajouté, sans du tout abolir l'autre, l'original, ce qui ne se voit pas du tout dans les fonctions courantes de la géométrie classique ou contemporaine, seules au monde, mais qui existe bel et bien, survit, devrait-on peut-être plutôt dire. C'est la raison principale de la difficulté de les analyser, l'origine ayant disparue. C'est le cas de la quadratrice, notamment, laquelle, comme toutes les fonctions polaires, sont seules au monde, dans la documentation, comme si elles ne venaient de nulle part. C'est le vide, justement, que j'essaie de combler.

IMMIXTION DU SYSTÈME CARTÉSIEN

Le guide secondaire, V½ s, au rang, r (V½ s), est égal à V½ fois l'étape, V½ (rs), mais cette dernière étant égale au sin du néo-port sur (1+V)½, il est égal à I½ fois le sin du port, I½ sin port, puisque V/(1+V) est égal à I, le sinus au carré de a. Or, I½ fois un sinus, c'est le guide secondaire du système cartésien à un rang système, lequel doit aussi multiplier soit s, qui est commun avec le système euclidien qu'on utilise, soit g cartésien.

Mais comme s a déjà son rang propre, il ne peut donc s'agir que du g cartésien, ce qui est alors un rang central, rt, donc, signifiant qu'il laisse invariant l'angle central, t. Le rang qu'on utilise dans le système euclidien, lui,  que j'avais seulement appelé r, pour simplifier parce qu'il était seul et qu'on savait déjà qu'il multipliait les guides centraux, est dit ra, parce qu'il laisse invariant a, l'asymptote. Avec maintenant le système cartésien, on peut dire rt cartésien et ra euclidien, mais comme il n'y a pas de rt euclidien ni ra cartésien en plus, on peut simplifier en rt et ra, sachant de quoi il s'agit. à quel système chacun se rapporte.

Le système euclidien est le produit des variables, V½ s, vu comme guide secondaire, le sinus de g, alors que le système cartésien est leur rapport, mais pas avec le même guide trigonométrique de l'a. C'est I½, son sinus, plutôt que V½, sa tangente: I½ sur s, I½/s, la tangente de g, vue comme guide asymptotique principal. Les guides asymptotiques ne sont pas visibles comme les guides centraux, puisque seulement leur algèbre est utilisée. Et réciproquement, les rôles changent quand il y a permutation entre eux.

Puisque ra (V½ s) = V½ (sin néo-port / (1+V)½) = I½ sin néo-port, on peut donc dire que le sinus du néo-port est le rang cartésien en cause: sin néo-port = rt, et qu'on peut changer l'algèbre euclidienne de 1/(1+V) en celle cartésienne, J, (1-I)½, le cosinus de l'a cartésienne (qui est la même asymptote que celle euclidienne mais dénommée par un guide trigonométrique différent). Mon ensemble de systèmes euclidien est donc maintenant guidé par un système cartésien muni d'un rang, rt. On a exactement les mêmes affaires, mais rt égalant le sinus du nouveau port, on peut désormais les interpréter comme une rencontre entre 2 systèmes, l'euclidien avec le cartésien, dont le moment d'égalité en crée un autre, de type euclidien, que l'on peut voir lorsqu'ils se séparent. Ce qui fait 3 systèmes en tout, alors qu'il n'en résultait que 2 avec le simple système de l'étape euclidienne. Les avantages sont considérables: c'est une géométrie bien supérieure.

C'est ce que je montre dans le dessin que j'ai préparé:

Quadratrice: Permuté de l'apposé de s décalé sur sa portée, dans un tri-système issu de la rencontre avec le cartésien


Les lignes noires montrent le système cartésien, qu'on peut appeler le moteur du tri-système: quand il tourne, tous les autres sont entraînés. Les bleues sont celles du système euclidien, et les vertes dévoilent le néo-cartésien qui est créé.

Les lignes beiges et rouges font partie de l'apposé du permuté du néo-port, parce qu'il le fait avec s décalé sur sa portée euclidienne: la partie supérieure, en beige, est l'apposé comme tel, alors que la partie inférieure est une décomposition de s décalé sur sa portée euclidienne originale, conservant sa relation avec l'asymptote, dont il peut autant faire un permuté d'apposé avec. C'est ce qui est le système de la quadratrice, en posant

rt = (8a(1-2a))½

où a est l'angle central (en tant que permuté avec t décalé). L'angle a demeure invariant au décalage sur la portée initiale cartésienne, mais sa béquille, elle, est décalée, tout comme cos auquel se rapportait s, mais maintenant au cos du néo-port,

(1-r²t)½ = (1-8a(1-2a))½ = 1-4a

désormais.

Le système en rouge est donc celui de la quadratrice, dont le triangle est coloré en gris. Avec le g euclidien décalé, qui pointe au bout du triangle vert, à gauche du rectangle rose, il trace un système hyperbolique, à la même hauteur, ce qu'indiquent les rectangles de couleur, en vert et rose.

Les triangles jaunes, en haut, montrent le décalage des guides euclidiens originaux, s et (V½ s) sur leur portée.

Les distances sur le schéma sont exactes, bien calculées, pour voir les bonnes proportions, comme dans un dessin technique avec de vraies courbes. La couleur des lignes est bien rendue, ainsi que celle des triangles et rectangles.

Seul l'angle a est indiqué sur mon dessin, car il est le plus important. Pour les autres, je n'avais pas de place, mais la mention des systèmes et structures par les couleurs y compensent suffisamment. De toute façon, les angles, dans ma géométrie, sont assez compliqués, et demeurent un mystère avant que je ne l'aie théorisée publiquement. En attendant, je donne des explications autant que je peux, à la pièce.

Notamment, mes angles sont des fractions: 1/4 de tour pour 90°, que j'appelle l, mais qui n'est pas mentionné dans mon dessin, ici, parce que mes angles ne sont pas écrits, à part de a. 1/8, c'est 45°, etc.. Ainsi, a se lit en fraction pour faire l'équation de la quadratrice: ce n'est pas différent de l'équation polaire classique de traçage. Car dire radian sur 2PI, c'est ce qui est l'angle en fraction lui-même.

L'utilisation des radians est très mêlante dans les ouvrages scientifiques, car c'est aussi une tangente, ou cotangente, dans le sens de rectification du cercle. Alors, même s'ils écrivent alpha radians / 2PI, on ne peut pas savoir plus s'il s'agit d'un angle fraction ou d'une tangente fractionnée. C'est pourquoi je n'utilise pas du tout les radians dans ma géométrie, tant pour les angles que pour les tangentes. Les angles sont nommés tels, en tant que fractions, et les tangentes sont appelées telles, pas des 2PI ceci ou celà, à part quand ce sont réellement des rectifications, ou dérectifiées, selon le cas. Mais je précise toujours la nature trigonométrique ou goniométrique des grandeurs quand je dois utiliser PI, en évitant le terme radian, autant que possible, ce qui n'est cependant pas toujours possible quand on analyse des courbes qui l'utilisent dans les publications.

C'est pourquoi il m'a été très difficile de comprendre la nature exacte de l'équation de la quadratrice, au début, toujours écrite strictement en radians, alors que c'est en fait un angle fraction dont il s'agit, un radian sur 2PI, pas toujours spécifié dans la documentation. Ici, c'est clair: a est une fraction qui évolue vers 1/4, le 90°. C'est ça la quadratrice, avec sa tangente qui est multipliée par (1-4a), qui est (1-r²t)½, le cosinus du port du néo-euclidien, sur mon dessin, en tant que béquille décalée - pas en tant que nouvelle tangente, ce qui serait un rang système, ce qui n'est pas le cas. Sa tangente reste la même, elle est multipliée par un rang de portée, qui multiplie tout autant sa sécante, pour diminuer son triangle, homothétiquement. C'est un rang homothétique du triangle, seulement pour le sien, pas celui des autres.

COMMENT ÇA TOURNE?

Notre théorisation est toujours mécanique, au départ, tant au cartésien qu'à l'euclidien: t est fixe, alors que c'est a qui tourne. C'est comme ça qu'est fait le schéma. pour que, quand l'asymptote tourne, la quadratrice soit tracée.

Le revers-mécanique, lui, c'est l'opposé, le contraire: a va se fixer, et c'est t qui va tourner à son tour. Ainsi, la pointe du triangle de l'asymptote homothétique demeure sur la quadratrice pendant que tous les autres angles de son système tournent différemment, en attendant.

Jamais les 2 variables, trigonométrique et asymptotique, ne vont tourner en même temps. C'est fait pour que, quand l'une tourne, l'autre doit être au repos. Ce n'est pas une limite de ma géométrie, car d'autres variables peuvent être rajoutées au besoin, comme s2 avec V2, par exemple, autant qu'on en aurait besoin. Ainsi, mon système mécanique de base pourrait fonctionner avec un autre qui serait, lui, revers-mécanique: V qui tourne avec s2, pendant que s et V2 sont fixes.

RÉSURGENCE DE LA PISTE GONIOMÉTRIQUE

La structure ainsi donnée de la signification trigonométrique de la quadratrice remet sur le tapis la pertinence de la piste goniométrique, car on en sait plus, et des questions en suspens s'éclaircissent. Bien qu'il ne s'agisse pas de la quadrature du cercle ou de la trisection de l'angle comme tel, ma géométrie permet d'envisager d'autres structures goniométriques tout aussi pertinentes, qui seraient faisables, en les reliant à celle trigonométrique ici déjà bien théorisée.

En effet, car il ne me manquait que quelques petits détails théoriques et techniques pour y arriver. Il fallait cependant bien comprendre l'aspect trigonométrique, ce qui me donne les outils nécessaires à poursuivre les recherches en ce sens.

Ce qui vaut aussi pour les savants qui comprennent ce dont je parle, et qui pourraient tout autant faire le lien. C'est surtout pour ça que l'on publie, d'ailleurs.


lundi 8 mai 2017

La quadratrice découle de l'algèbre du sinus cardinal


Tiré d'un de mes articles de journal, au même titre, sur ma Page Facebook spécialisée, étant donné son importance:
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La formule polaire la plus simpliste de la quadratrice ne contient que la variable goniométrique comme tel, soit l’angle, qu’on appelle t, disons, avec un nombre qui le multiplie, lequel est 4.
  • Dans la quadratrice verticale, c’est 4t (4 fois t)
  • dans celle horizontale, c’est 4(l-t) (4 fois le complémentaire de t)
où l signifie 1/4, l’angle de 90° en notation fractionnaire, comme t.
De là, il ne s’agit que de multiplier cette formule par la cotangente, en haut, ou la tangente, en bas, suivant le principe polaire, pour tracer la quadratrice.
Cette formule polaire, quoique très belle, en un sens, ne me permettait pas de la relier avec 2/pi, par lequel passait la quadratrice sur l’axe, horizontal et vertical, respectivement, au départ ou à l’arrivée de la rotation sur 90°. Pourtant, ça part ou arrive bien là, comme par magie, d’où le mystère de cette courbe.
Mais la formule complète, elle est reliée au sinus cardinal.
Le sinus cardinal est un ratio entre le sinus d’un angle et la tangente de sa rectifiée, ce qui est le radian de cet angle, en fait. Comme la notation est habituellement en radian, ça fait
sin (t rad) / t rad
mais en angle fractionnaire, ça donne
sin (t) / 2 pi t
À 90°, le radian
2 pi 1/4 = pi/2
lequel, multiplié par le sinus cardinal, donne
(pi/2) * (sin (t) / 2 pi t) = sin (t) / 4 t
lequel est l’inverse de la formule du rayon de la quadratrice. En formule polaire, le sinus de l’angle de la quadratrice est donc
sin (t) * (4t / sin (t)) = 4t
soit, la formule polaire simpliste de la quadratrice verticale, décrite plus haut.
C’est comme ça qu’est reliée la quadratrice au sinus cardinal.

Pour moi, la formule avec le sinus cardinal est complète parce qu’elle a tout ce qu’il faut pour que je puisse l’interpréter dans ma géométrie, ce que je ne pouvais pas faire auparavant, avec la formule simpliste.

J’ai pris un cliché des fiches de Mathworld sur le sinus cardinal et la quadratrice, ci-bas, où l’on voit bien la relation entre les 2 formules.

 
Formule de la quadratrice, où sigma est en radians.
Weisstein, Eric W. "Quadratrix of Hippias." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/QuadratrixofHippias.html



Formule du sinus cardinal, où x est en radians.
Weisstein, Eric W. "Sinc Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html