Équation de la quadratrice en sinus

L'équation polaire de la quadratrice étant la plus simple qui soit, savoir d'où elle vient et où elle va est difficile à savoir. Il manque des éléments pour la faire et la compléter adéquatement, la comprendre, l'expliquer.

C'est une belle courbe, mystérieuse et très ancienne. Il est surprenant qu'il n'y ait pratiquement pas d'étude sérieuse sur elle depuis tout ce temps, du moins ce qu'on peut trouver sur internet. Aucune autre équation n'existe que celle polaire, et sa conversion cartésienne élémentaire.

Elle est difficile, c'est sûr. Je l'ai étudiée tout en théorisant ma géométrie, la mécanique hyperbolique algébrique. Elle m'a permis de compléter tous les principaux aspects techniques et fondamentaux de son fonctionnement, qui en fait aujourd'hui une géométrie fonctionnelle sur tous les plans. Mais la quadratrice, je n'arrivais toujours pas à décoder son mystère.

Mais j'ai trouvé, finalement, aujourd'hui. Je peux voir maintenant pourquoi elle était difficile. En sinus, elle est au 2e quadrant, et elle exige 2 équations. Une première pour se mettre à l'échelle du radian, avec lequel elle est faite. Puis, la deuxième résulte d'un point de rencontre entre 2 angles, ce qui crée la quadratrice, sa formule exacte, complète, après la première équation.

Dans ma géométrie, les équations sont des ordres, mais ils n'ont pas le même sens qu'en géométrie classique, en parlant des courbes ou équations de tel ordre. Ce n'est pas la même chose. Par exemple, les ellipses et les hyperboles ont un ordre fixe, alors que les autres courbes ont des ordres mobiles, i.e. des fonctions, et ça les définie complètement. Il peut y en avoir une ou plusieurs.

Ainsi, dans le cas de la quadratrice, elle comporte 2 ordres, celui par défaut, en premier, et puis un autre supplémentaire, dont on a besoin, pour compléter toute sa trigonométrie et goniométrie, exactement. Ça fait partie de sa complexité, sa nature.

J'ai fait un schéma pour démontrer le déroulement de son équation, tel que je l'ai théorisé aujourd'hui.

Équation de la quadratrice en sinus
Ce premier dessin comporte une erreur théorique. 

Voir correction ci-dessous.

Dessin corrigé:

Équation de la quadratrice en sinus
Dessin corrigé le 1er mars courant.

Voir explication dans la mise-à-jour. 
Caduc aussi, contient des erreurs.
Remplacé par correction du 4 mars, ci-après.

 

Dessin recorrigé

Équation de la quadratrice en sinus

2e correction, 4 mars 2015

Voir explication dans la mise-à-jour de cette date 

Mise-à-jour du dessin

Duplication de la quadratrice au 1er quadrant,

sur axe fixe, sa position finale, 

mais avant la transcription de l'algèbre polaire

en celle de la mécanique hyperbolique algébrique,

qui fera toute la différence.

Voir la Mise-à-jour du texte au 28 mars pour explication. 

Dessin: mise-à-jour du 13 mai

 

Quadratrice en sinus

Mise-à-jour, 13 mai 2015 

Mécanique co-variable  en cosinus

La quadratrice est un combiné co-variable en cosinus

Le dessin montre le rajout de son angle central,

en rouge,

construit à l'aide de la petite rallonge, 

colorée en beige.

Voir explication dans la mise-à-jour du texte, au 13 mai.  

C'est un début. Si j'avais fait une courbe avec son équation, ça aurait été incompréhensible. C'est pourquoi je préfère présenter d'abord la construction de son algèbre. Après, avec les courbes, ce sera plus compréhensible.

Dans ma géométrie, une courbe n'est jamais seule. Elle fait partie d'un tableau qui en comprend six, mais ce n'est pas tout. Il y a des tableaux connexes, ainsi que d'autres ensembles de tableaux qui peuvent être en relation, aussi. Tout est connecté, il n'y a pas de limite à la connectivité d'une courbe avec d'autres, dans ma géométrie.

Donc, l'ampleur que peut avoir la vraie algèbre de la quadratrice est incalculable. On peut y voir toutes sortes de connexions avec d'autres courbes. C'est très intéressant.

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Mise-à-jour, 1er mars 2015

Correction du dessin

J'ai corrigé le dessin original suite au calcul qui n'arrivait pas, et après avoir remanié ma théorie.

Le principe était bon, soit la transformation de l'angle central secondaire g_1+V-l en fonction au 2e quadrant, sauf que ce n'était pas la bonne, un combiné plutôt qu'un contre-combiné, comme je l'ai découvert en théorisant de façon toute nouvelle cette rencontre entre 2 angles, un niveau de connaissance que je n'avais pas encore acquis, pensant que ce que je savais déjà suffisait, ce qui n'était pas le cas.

Cette nouvelle théorie s'applique au rang d'un système, comme c'est le cas dans les équations polaires, qui n'est qu'un cas particulier: la trigonométrie d'une courbe est multipliée par un rang dont on ne voit que le résultat, et, dans le cas d'une équation polaire, par exemple, on n'a qu'à multiplier la tangente et la sécante par ce résultat pour avoir les dimensions complètes du triangle qui trace la courbe. Dans ma théorie, ce raccourci n'existe pas car il n'est pas nécessaire. Les 3 côtés du triangle sont complètement différents, il n'y a pas de complétude trigonométrique par un rang.

C'est une vraie formule, plutôt, celle d'un contre-combiné, une fonction secondaire dans ma géométrie. Même son angle est défini exactement, ce qui est absolument impossible en équation polaire classique: c'est le c_1/(Vr²t)-l quand r²t, d'abord, puis V, ont été définis, tel que démontré sur le dessin.

Dans le dessin, il y a 2 types d'algèbres, la mienne, que j'écris en premier dans les 2 équations, et ce à quoi elle correspond dans celle de l'équation polaire de la quadratrice, par le signe égal (=). Autrement dit, c'est un peu comme une traduction. J'ai les termes de l'équation polaire, et je les exprime dans dans mon algèbre, ce qu'ils signifient en mécanique hyperbolique algébrique.

Donc, ma théorie est plus large que la traduction, ou l'interprétation, d'une équation polaire, elle comprend tous les types de rangs. C'est dans ce cadre plus large que s'inscrit la quadratrice, comme équation polaire, en particulier. Il y a rencontre entre 2 angles, un central secondaire avec un contre-combiné issu de la mise au rang du premier. Par ce rang, l'angle central secondaire, avec tout son tableau, monte sur la portée du contre-combiné et se définit par le tableau de ce dernier. Un tableau est l'ensemble des angles qui forme un système, il y en a 6 (six). Ainsi, si l'angle original, ici le central secondaire, a une équation propre dans son tableau, il n'a plus la même dans le tableau sur lequel il est reporté, là le contre-combiné de rang (muni d'un rang). Seulement le fait de lui donner un rang change tout, sa trigonométrie et sa courbe, ce que l'on sait, mais aussi l'angle, même s'il est pareil (le rang ne modifiant pas l'angle), car, dans ma géométrie, un angle tient compte du rang et l'inclut dans sa définition. De cette façon, toute courbe a un angle qui lui est propre, même s'il a la même grandeur que celui d'une autre courbe.

Dans un autre article, mon dessin sera plus avancé, basé sur la démonstration que j'ai fait ici, ce qui sera moins difficile à comprendre pour qui s'y réfère. Pour ce qui est de la théorie, encore nouvelle, sur laquelle elle est basée, c'est comme mes autres découvertes, je la rendrai publique plus tard, quand ce sera le moment. Mais c'est sûr qu'en attendant, une bonne idée lui est donnée par cet exemple de la quadratrice.

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 Mise-à-jour, 4 mars 2015

Recorrection du dessin

Le principe de la rencontre de 2 angles pour faire une équation n'était pas bon, car ce n'était qu'un point de rencontre dans l'évolution de la courbe. L'équation était déjà là sans avoir besoin d'une quelconque rencontre entre 2 angles. C'est la difficulté du rang, d'un autre cycle, qui m'avait fait pensé à celà, n'étant pas encore habitué à l'algébrétiser correctement, en faire la rotation adéquate. Maintenant c'est fait, je sais bien comment faire.

Donc, l'angle de rencontre était bon, mais seulement sur le plan technique, dans l'évolution de la courbe, pour connaître une valeur à un moment donné. Je n'en avais pas besoin, le reste de l'architecture restant bon, je lai donc enlevé. Il s'agissait de comprendre l'algèbre de rotation de rotation comme il faut, le rang étant d'un autre cycle que celui de l'angle central, ce qui était plus difficile. Ce problème est maintenant réglé. Je vais pouvoir continuer correctement dans un autre article, avec un dessin plus évolué.

Ce rang étant de 3e quadrant, le reste de l'architecture de la nouvelle portée s'y trouve également, ce qui n'apparaît pas dans le 2 premiers quadrants du dessin, mais ce n'est pas essentiel comme tel, mon modèle ne servant qu'à montrer le montage, pour le moment. L'essentiel y est.
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Maintenant, je voudrais expliquer un peu plus Qrt, n'ayant pas assez de place dans le dessin. Dans ma géométrie, la rotation des angles se fait sur 3 ou 4 quadrants, il faut donc distinguer entre une trigonométrie synchrone et une autre évolutive.

Par exemple, si je dis que rt est une tangente au 1er quadrant, mais qu'il est maintenant un cosinus au 3e, je dois utiliser une notation qualitative pour souligner cette évolution, sans celà ce ne serait que le cosinus du même angle au 1er quadrant, et mon algèbre serait défaillante.

J'ai donc utilisé les lettres N, O, P et Q pour qualifier cette évolution. Elles correspondent aux 4 échelons que suivent tous mes guides trigonométriques. Dans le cas de la tangente, c'est:
tg, tg>1, coséc et cos
Donc, Ntg, Otg, Ptg  et Qtg correspond à cette évolution, de même que rt, en lieu et place de tg, comme tangente aussi. N est sous-entendu par défaut, mais utilisé lorsque nécessaire.

Ainsi, Qrt signifie que rt est devenu un cosinus au 3e quadrant, depuis le 1er, dans sa rotation évolutive propre.
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Pour ce qui est de la trigonométrie polaire qui est toujours présente dans mon dessin, et donc pas différente de l'équation polaire comme telle, c'est normal, car nous venons de monter le système avec un rang. C'est à ce niveau que se situe justement l'équation polaire, mais ma géométrie va plus loin que celà. Après le montage, une algèbre mécanique (de la mécanique hyperbolique algébrique) remplace l'algèbre polaire pour faire la rotation et les tableaux adéquatement.

En effet, l'algèbre polaire n'indique pas comment ça tourne ni l'endroit où se trouve la courbe. Mais j'ai déjà une idée, dans ma géométrie, en sachant quelle sorte de rang est utilisé, s'il croît ou décroît, etc.. C'est pourquoi j'ai pu dessiner ce schéma en sinus, dans un premier temps: je sais que la courbe est au 2e quadrant, quel est le genre de rang, etc.. Avec ça, je pourrai maintenant convertir cette algèbre polaire dans mon algèbre mécanique, voir comment ça tourne, identifier les étapes d'évolution, les intervalles, les points de rencontre, etc..

Avec l'algèbre mécanique, tout est possible, et c'est ce que nous allons voir dans les prochains dessins, dans d'autres d'articles - même si je me trompe un peu quelquefois, mais c'est dans le contexte où je théorise en même temps ma géométrie, qui est toujours un peu difficile aux frontières de l'inconnu. Je me corrige continuellement, donc rien n'est faux comme tel, ici. Tout est vérifié, et toujours théorisé avant.

C'est dans la pratique que la théorie peut s'avérer inadéquate ou insuffisante, c'est pourquoi des petits ajustements deviennent nécessaires, à ce moment là. Après ça on peut continuer, comme c'est le cas ici, après avoir repris 2 fois mon dessin..

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Mise-à-jour, 28 mars 2015 

Mise-à-jour du dessin

L'architecture exacte est maintenant connue. C'est une découverte d'aujourd'hui, ce qui explique la mise-à-jour du dessin.

Il y a 4 portées successives, toutes en sinus, pour en arriver à la quadratrice:

- la 1ère est celle du système en sinus comme tel

- la 2e est celle de l'ordre 1+V, toujours avec le sinus de l'angle central t, en lieu et place de V

- la 3e, celle au rang asymptotique Qrt (qui est un rang central mais recombiné après repermutation)

- et la 4e est celle qui définie g(1+V), l'angle de la quadratrice, comme un combiné, relativement à l'angle central secondaire de la portée précédente.

Ici, mon dessin étant démonstratif, la simplicité de l'équation polaire est gardée, et donc dans cette mise-à-jour également, pour montrer la position finale que prendra la quadratrice, en cette 4e portée, soit au 1er quadrant, dupliquée du 2e (l'anle g(1+V)). Cependant, hors la démonstration, dans un autre article, la quadratrice prendra l'algèbre de la mécanique hyperbolique algébrique, qui a le même résultat que celle polaire, mais pas du tout la même signification.

Dans l'équation polaire classique, la seule signification est d'être en radian, ce que j'ai décomposé adéquatement dans ma démonstration, ici, lui donnant une vraie signification algébrique, dans ma géométrie. Mais ça n'a pas encore changé l'équation polaire, comme telle. Toutefois, cette décomposition permet de comprendre dans quelle architecture se situe la quadratrice, et dans quels portée et tableau elle appartient, exactement, après étude, ce que j'ai fait.

La portée est un peu comme une portée musicale, où on a 2 lignes, celles des guides des angles centraux. Le guide, c'est la trigonométrie principale, ici le sinus, donc chaque sinus des angles centraux a sa propre hauteur, composant donc une ligne chaque. Les combinés s'alignent derrière ces angles centraux, à la même hauteur, respectivement. Ensemble, ces angles forment un tableau, mais au-delà de ces combinés se trouvent aussi d'autres combinés à des ordres supérieurs, toujours sur la même portée. Celà se produit aussi devant les angles centraux, à partir des combinés opposés, hyperboliques, aussi loin que l'on veut. Donc, la portée est infinie comme tel, à gauche et à droite des angles centraux, mais elle existe aussi en sens inverse, de l'autre côté du cercle (donc pas un retour sur lui-même),quand l'ordre en cause (l'initial ou l'augmenté) passe à un autre cycle, après avoir atteint l'infini.

Donc, si la portée apparaît linéairement sur un seul quadrant, elle tourne en fait tout autour du centre de rotation, fixe. Un système comprend plusieurs tableaux, dans sa rotation totale, qui vont définir dans quel intervalle se situe telle courbe que l'on étudie, chaque tableau en étant un.

C'est ainsi que la quadratrice a pu être localisée au 1er quadrant, exactement, sur la 4e portée successive. Et elle a une algèbre exacte, par conséquent, complètement différente de l'équation polaire, mais traçant la même courbe, quand même.

Dans un prochain dessin, sur un autre article, l'angle g(1+V), au 2e quadrant, sera ramené à sa position normale, sur l'axe vertical fixe, il était ici décalé un peu, pour la démonstration. Et puis, "Qrt" va changer de nom, en "ra". Ces 2 modifications ne sont toutefois que techniques, elles ne changeront pas la signification de la démonstration, qui restera la même pour le vrai dessin. La continuité ne sera pas brisée du tout, en convertissant de l'un à l'autre, ces petits détails.

Il me reste des tableaux à compléter, dans ma théorie sur papier. Quand ce sera prêt, je pourrai définir exactement ce qu'est la quadratrice en sinus, avec son environnement immédiat et un peu plus loin, dans le cadre de l'architecture de son système, les autres courbes qui l'accompagnent. C'est l'algèbre exacte, qui est importante, ce que je donnerai, avec un schéma de courbe, en attendant les courbes exactes, ce qui est plus difficile pour moi, mais avec la trigonométrie, quelqu'un qui connaît un peu ça peut les tracer lui-même. C'est pourquoi l'algèbre exacte, la trigonométrie, est importante, pour tracer suivant celle qu'on voudra, par la suite.

Pourquoi le schéma de la courbe ne ressemble pas à une quadratrice horizontale?

Le schéma est fait à partir de l'angle central qui commence à 1/2pi. Normalement, à ce point précis, on ne peut pas voir la quadratrice car c'est son début, étant est à 0°. Alors, ce n'est qu'une simulation que de la voir à partir de cette valeur, en faisant augmenter t virtuellement, alors que le dessin de base est toujours à son point de départ.

Il y a donc une sorte de distorsion, c'est normal. Mais c'est pour montrer le fonctionnement, dynamique. C'est le fond statique qui crée la disproportionnalité. Dans une démonstration réelle, tout serait synchrone, mais je ne sais pas encore comment créer de telles simulations, et puis ça va aussi avec des courbes calculées, ce qui est plus qu'un schéma.

Dans le cadre d'un schéma, la disproportionnalité est normale, car tout n'est pas nécessairement calculé, seulement l'essentiel, comme ici, pour la démonstration. Mais mon algèbre est bonne, et les courbes illustrées peuvent être tracées avec la trigonométrie indiquée. C'est ça qui est important.

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Mise-à-jour, 30 mars 2015

Correction de la localisation de la quadratrice 

La quadratrice va être au 2e quadrant plutôt qu'au premier, mais dans la même position cartésienne qu'elle apparaît dans le dernier dessin, que je ne change pas pour rien, car ce n'est pas grave, juste un petit détail technique à la veille de changer de dessin.

Le tableau du système est maintenant atteint, après cette petite méprise qui m'avait fait placer la courbe au 1er quadrant. Je n'avais pas le bon tableau, à ce moment là, mais j'étais tout près, et je suis dessus, maintenant, exactement.

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Je suis maintenant en mesure, avec ce bon tableau, de faire le schéma du système de la quadratrice, soit au moins 4 angles sur 6, avec la trigonométrie et la goniométrie exacts. Après celà, le traçage des courbes sera plus compréhensible.

Ce sera donc pour les deux prochains articles. Après ça, une extension hyperbolique sur la portée est prévue, et puis plus loin éventuellement.

Il y a aussi la continuité aux autres quadrants. La quadratrice, comme combiné (la fonction principale dans ma géométrie), court sur 4 quadrants, mais n'en remplie que 3, le premier et le dernier se complétant l'un l'autre. Ce serait intéressant de voir la forme, si c'est pareil à ce qu'il y a déjà dans la littérature, sur internet, par exemple. J'ai tous les tableaux pour ce faire, le plus difficile étant le codage de la formule, n'étant pas encore très habitué. Ça me prend un peu de temps. C'est pour ça que je préfère commencer par les schémas, avec les vraies formules, notamment, le lecteur pouvant tracer lui-même les courbes, au besoin, s'il en a l'habileté, en attendant.

On verra aussi une analyse principale de la quadratrice, ses intervalles, points de rencontre, etc.. C'est très vaste, mais je présenterai l'essentiel, pour donner une idée. Dans ma géométrie, une courbe peut être reliée à des milliers, une infinité, d'autres, c'est pour ça que ça peut être très vaste, et extrêmement compliqué, plus on va loin.

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Mise-à-jour, 13 mai 2015

Le système co-variable et la quadratrice

Le système co-variable est une permutation des angles centraux accompagnée d'une inversion de l'ordre. Je l'ai découvert et théorisé ces jours-ci, après une longue recherche sur son fonctionnement, car, même s'il paraissait évidente, logique, il était très difficile à comprendre, dans le cadre du fonctionnement de ma géométrie. 

C'est la deuxième et dernière mécanique virtuelle, avec celle dite permutation, qui est la permutation des variables. Ces deux systèmes sont dits virtuels parce qu'ils tournent normalement, sans blocage, comme la mécanique, mais n'en est pas une. La raison est que le nouvel angle central, dans les 2 cas, tourne au lieu d'être fixe, au départ, ce qui débalance la position des différents éléments dans le cours de la rotation. Ainsi, si on essayait de les comprendre comme des mécaniques, ce serait impossible. D'où le terme de mécanique virtuelle, plus approprié, pour mieux comprendre de quoi on parle.

Il n'y en a que 2 parce que c'est ce que j'ai constaté après avoir théorisé tout l'ensemble des mécaniques possibles avec les mêmes variables, incluant leurs inverses. Il y en a 4, et chacun en a 2 virtuels, ce qui en fait 8 en tout, donc. Autrement dit, chaque système a un permuté et un co-variable. Le sinus, par exemple, comme système mécanique, a un permuté et un co-variable, qui sont ses systèmes virtuels adjoints. Ils tournent comme lui, avec les mêmes éléments, normalement et sans blocage, mais sont différents.

C'est donc dans ce contexte que se situe la quadratrice. C'est un co-variable en guide sinus, mais il ne se fait pas avec le sinus du g, l'angle central secondaire.

Co-variable en cosinus 

Un système en sinus peut aussi avoir comme guide le cosinus de t, sous-radical, ce qu'on appelle le rétro-cosinus anti-mécanique. C'est aussi une mécanique, mais associée à l'algèbre de celle du sinus.

De la même manière, un système co-variable en sinus (celui de g) peut aussi se faire en cosinus. C'est le même principe.

Maintenant, comme la quadratrice est plutôt montée à la hauteur du sinus de g(1+V), un ordre plus haut que V, c'est là qu'il faut comprendre le cosinus co-variable en cause. C'est celui de g(1+V), plutôt que celui de g.

Le rang (Qrt)

Si le rang de l'angle g(1+V) était 1, la trigo de la quadratrice serait la même que celle de cet angle, mais ce n'est pas le cas. Quand un rang est différent de l'unité, un angle central est créé, duquel va dépendre g(1+V), comme fonction contre-combinée.

C'est là que ça bloquait: le contre-combiné n'existait pas au 2e quadrant, n'étant.qu'au 3e. à cet ordre, celui de la quadratrice. Seule la mécanique en cosinus de g(1+V), qui est une tangente au 2e quadrant, fonctionnait, mais je ne savais pas ce que c'était. Je pensais que c'était une autre sorte de mécanique, mais j'en ai essayé de toutes les sortes possibles et rien ne correspondait.

Il ne restait que la mécanique du g qui pourrait être possible, mais je ne savais pas encore exactement comment elle fonctionnait. J'ai donc repris ma recherche de ce côté, pour la théoriser vraiment. Le contre-combiné est bel et bien au 2e quadrant quand g l'est aussi, en cosinus (de l'angle central) au 2e quadrant (qui est une tangente). 

Un contre-combiné en cosinus qui est un combiné co-variable en cosinus g

En co-variable, les combinés sont exactement les mêmes que ceux de la mécanique, mais interchangés: le combiné de la mécanique est le contre-combiné co-variable, et son contre-combiné le combiné de l'autre. C'est pourquoi la quadratrice est un combiné, parce qu'il correspond au contre-combiné de la mécanique en cosinus au 2e quadrant, en tant que modèle (non celui actuel).

Mais là s'arrête la ressemblance entre le co-variable et la mécanique: leurs permutés sont différents, eux. Ce n'est donc pas une sorte de symétrie quelconque, mais bien 2 systèmes tout à fait différents. Chacun a son architecture propre.

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C'est compliqué, mais j'essaie seulement d'expliquer un peu dans quel contexte se situe la quadratrice. C'est vraiment dans un système qui se situe très loin en géométrie. Pas facile à comprendre, même pour moi, qui vient tout juste de le découvrir.

Le dessin

Sur le dessin de la Correction du 4 mars, j'ai rajouté, en rouge, l'angle central de la quadratrice:
g(1+V) Qrt covar cos - l
qui signifie:
guide de g(1+V) au rang Qrt dans le système co-variable en cosinus. Le "- l" indique qu'il est au deuxième quadrant, l signifiant 1/4, 90° en fraction: l'angle sur 2 quadrants - 90°.

Ce nom est dérivé de g(1+V) parce que celui-ci est son combiné. Les vrais noms de chacun sont différents mais signifient la même chose. Ils impliquent une trigonométrie compliquée, plus précise mais moins à propos ici, où on procède à l'envers: d'un angle qui serait un combiné, de quel angle central dépend-il? C'est pour ça que le nom de cet angle central en est dérivé.

Le petit rectangle en beige indique le prolongement requis, depuis le point de la quadratrice, pour l'atteindre. On voit que le guide est maintenant la tangente (le cosinus au 2e quadrant), le poteau devant l'angle par rapport à 1, plutôt que la sécante (sinus au 2e quadrant), comme je le pensais auparavant et qui ne fonctionnait pas.

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L'architecture de la quadratrice dépend donc de cet angle central co-variable, où elle est le combiné, d'où on pourra tirer tous les autres, l'angle central secondaire, le contre-combiné, l'ordre et le contre-asymptote, tous propres à ce système, celui de la quadratrice. C'est ce que nous verrons dans un autre article, avec un nouveau dessin.