La quadratrice découle de l'algèbre du sinus cardinal

Tiré d'un de mes articles de journal, au même titre, sur ma Page Facebook spécialisée, étant donné son importance:

Mécanique hyperbolique algébrique, 25 avril 2017

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La formule polaire la plus simpliste de la quadratrice ne contient que la variable goniométrique comme tel, soit l’angle, qu’on appelle t, disons, avec un nombre qui le multiplie, lequel est 4.

• Dans la quadratrice verticale, c’est 4t (4 fois t)
• dans celle horizontale, c’est 4(l-t) (4 fois le complémentaire de t)

où l signifie 1/4, l’angle de 90° en notation fractionnaire, comme t.

De là, il ne s’agit que de multiplier cette formule par la cotangente, en haut, ou la tangente, en bas, suivant le principe polaire, pour tracer la quadratrice.

Cette formule polaire, quoique très belle, en un sens, ne me permettait pas de la relier avec 2/pi, par lequel passait la quadratrice sur l’axe, horizontal et vertical, respectivement, au départ ou à l’arrivée de la rotation sur 90°. Pourtant, ça part ou arrive bien là, comme par magie, d’où le mystère de cette courbe.

Mais la formule complète, elle est reliée au sinus cardinal.

Le sinus cardinal est un ratio entre le sinus d’un angle et la tangente de sa rectifiée, ce qui est le radian de cet angle, en fait. Comme la notation est habituellement en radian, ça fait

sin (t rad) / t rad

mais en angle fractionnaire, ça donne

sin (t) / 2 pi t

À 90°, le radian

2 pi 1/4 = pi/2

lequel, multiplié par le sinus cardinal, donne

(pi/2) * (sin (t) / 2 pi t) = sin (t) / 4 t

lequel est l’inverse de la formule du rayon de la quadratrice. En formule polaire, le sinus de l’angle de la quadratrice est donc

sin (t) * (4t / sin (t)) = 4t

soit, la formule polaire simpliste de la quadratrice verticale, décrite plus haut.

C’est comme ça qu’est reliée la quadratrice au sinus cardinal.

Pour moi, la formule avec le sinus cardinal est complète parce qu’elle a tout ce qu’il faut pour que je puisse l’interpréter dans ma géométrie, ce que je ne pouvais pas faire auparavant, avec la formule simpliste.

J’ai pris un cliché des fiches de Mathworld sur le sinus cardinal et la quadratrice, ci-bas, où l’on voit bien la relation entre les 2 formules.

 

Formule de la quadratrice, où sigma est en radians.

Weisstein, Eric W. "Quadratrix of Hippias." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/QuadratrixofHippias.html

Formule du sinus cardinal, où x est en radians.

Weisstein, Eric W. "Sinc Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html